数学的な記法のテンプレート

1. 基本的な定義と定理

AsciiDocのカスタムスタイル（ロール）を使用して、定義や定理を記述します。

定義 1 (素数)

1より大きい自然数で、正の約数が1と自分自身のみであるものを素数と呼ぶ。

定理 1 (素因数分解の一意性)

1より大きい任意の自然数は、素数の積として（積の順序を除いて）一意に表すことができる。

証明

（証明略）数学的帰納法により示される。

命題 1

任意の偶数は2で割り切れる。

補題 1

もし \( n^2 \) が偶数ならば、\( n \) も偶数である。

証明

対偶を示す。\( n \) が奇数ならば、\( n = 2k + 1 \) と置ける。このとき \( n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 \) となり、奇数である。よって対偶が真であるため、元の命題も真である。

系

素数は無限に存在する。

定理 2 (オイラーの公式)

任意の \( \theta \in \mathbb{R} \) に対して、以下が成り立つ。

\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]

証明

テイラー展開を用いて定義する。 \( e^x, \sin x, \cos x \) のマクローリン展開において、\( x = i\theta \) を代入して比較することで導かれる。